こう言っては申し訳ないのですが、「ジーニアス」はお勧めできません。
専門家の間ではあまり評判がよくない辞書なんです。
添付画像を見ても分かりますが、
remember me saying は、かつてはあまり使われませんでしたが、近年になり remember my saying よりも書籍中出現率で上回るようになっています。

細かい文法を言うと
remember [my saying] は「形容詞＋動名詞」で、remember の目的語は saying
remember me saying は「代名詞＋現在分詞」で、remember の目的語はmeであり、saying は me を意味上の主語とする述語の関係で補語に相当します。

つまり、remember に関する「ジーニアス」の記述はすでに適切ではなくなっています。

ご回答ありがとうございます。

< remember me saying は「代名詞＋現在分詞」で、remember の目的語はmeであり、saying は me を意味上の主語とする述語の関係で補語に相当します。>

I remember him saying that.は引っ掛かりなく理解できるのですが、目的語 me を取る動詞 remember の主語が I なので、I remember myself saying that. は文法的に許容される文ではないのか？　もしかすると、me より myself の方が文法的に適格なのでは？と思ったのですが、どうなのでしょう？

確かに主語と目的語が同一人物の場合、主語の行為が本人に帰ってくるので「再帰代名詞（～self）」がより好ましいです。再帰代名詞を使わないと主語と別人に聞こえる場合は特にそうです。

1, Jane stood beside Mary. Mary looked at her in the mirror.
2, Jane stood beside Mary. Mary looked at herself in the mirror.

１でMaryが見たのはJane。
２でMaryが見たのは自分自身という違いになります。
しかし、I - me が別人に聞こえることはないので、このままでも不自然に聞こえないこともあります。

お礼が遅くなりました。ありがとうございました。