1："The climate <here> compares with that of my hometown."
2："The climate <here> compares <well> with that of my hometown."（well あり）
これら２つの英文には、<here><well>の２つの副詞が含まれます。

副詞というのは、基本的に「位置の自由度」が高い言葉で、副詞のタイプによっては様々な位置に現れます。例えば頻度を表す副詞ですと
基本位置：I sometimes play tennis.
文頭： Sometimes, I play tennis.
文末： I play tennis sometimes.
位置が違っても「表す事実」は同じです。
ただし、情報が現れる順序が違えば若干のニュアンス差が生じます。
I <sometimes play> tennis.
では「ときどきプレーする」という動詞を作っているようなところがあり、副詞と動詞の密接さが最も強く感じられます。
<Sometimes>, I play tennis.
のように文頭に頻度の副詞が現れると
「時々そうなんだけど＞テニスをするんだ」
と「今から話すことは常にではなく、時々だ」と前置きをする感じになり、この位置の副詞は「文全体を修飾」しているとみなされます。
I play tennis <sometimes>.
の順序だと
「テニスをするんだ。といっても時々なんだけどね」
という情報補足に感じられます。
ポイントは、このように「情報が現れる順序」が違うと「何がわかってから、何がわかるのか」が変わってくるという点にあります。

さて、もとの英文の比較に戻りましょう。
1："The climate <here> compares with that of my hometown."
2："The climate <here> compares <well> with that of my hometown."（well あり）

here は「気候＞どこの気候かというと＞ここで」という順序として
The climate [of this place] に近い意味であるため、この位置でないと文意自体が変わってしまいます。
well については「compareする」と述べたあと「どのように」を追加で述べるため、この位置が自然です。
つまり「ここの気候は似ている＞どれくらい？＞とても＞何と似ている？＞私の故郷と」という流れですね。
ここで、wellが動詞の前に置かれてしまうと
well compares ＝似ているのも妥当なことだ、十分な根拠を持って似ている
というふうに「well」が表す意味自体が違って聞こえてしまいます。また
The climated here compares /with that of my hometown/ well. のように「well」が文末でも正しいのですが、with～が長い場合など、wellと修飾する相手の動詞が離れ離れになりすぎて、意味的関係が把握しにくく感じる場合もあります。その点、compares well と、その位置で「wellをやっつけてしまう」ことで、「よく似ている」という意味を伝えきってしまい、その後、「何と似ている」のかをゆっくり述べることができるわけです。

3："Our new system compares to the old one."
4："Our new system compares <favorably> to the old one."（favorably あり）
5: "Our new system <favorably> compares to the old one."（私が追加した例文）

こちらの compare to...は「何かと比較する」意味であり、３は「比較してどうなのか」が書かれていないため、言葉足らずに感じます。
４は、「比較される＞好ましく、好意的に（有利に）＞旧システムと比べると」という情報の流れになっています。
５だと、「<favorably compares>」でまとまってしまうため、どこか「意図的に有利になるように比較する」と聞こえます。
このように「情報順序、情報の流れ」を考えますと、４が自然ですね。

よく理解できました。
詳細な説明ありがとうございます。